Matemática - FCsCTH

viernes, 11 de marzo de 2011

Un grupo de 5 alumnos deciden asociarse y constituir una empresa de transporte turístico. Para ello, cada uno aporta $2000. Deciden adquirir una coaster en buen estado, que se lo ofrecen en $15000. Como el dinero juntado no les alcanza para la adquisición, deciden solicitar al banco un préstamo por la diferencia. El banco aprueba el préstamo con un interés de 1% mensual. El grupo de alumnos acuerda pagar $200 al capital cada mes, más el interés respectivo. Elabore una tabla indicando el pago al capital, interés, pago total y saldo.

PRÉSTAMO: $5000

PERIODO	PAGO AL CAPITAL (1)	INTERÉS (2)	PAGO TOTAL (1) + (2)	SALDO
0				5000
1	200	50	250	4800
2	200	48	248	4600
3	200	46	246	4400
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
?	200	?	?	0

Se puede apreciar que los resultados obtenidos en las columnas de interés, pago total y saldo, corresponden a progresiones aritméticas:

INTERÉS: 50, 48, 46, ... d = -2

PAGO TOTAL: 250, 248, 246, ... d = -2

SALDO: 4800, 4600, 4400, ... d = -200

Aplicando la fórmula para el término n-ésimo a la P.A. del SALDO:

0 = 4800 + (n - 1)(-200)

0 = 4800 -200n + 200

200n = 5000

n = 5000 / 200 = 25 meses

El propósito del caso anterior es comprobar la relación que existe entre las progresiones aritméticas y el tema que desarrollaremos a continuación: el interés simple.

Definición

Interés

Se denomina "interés" a la cantidad que debe pagarse al final de periodos determinados de tiempo como compensación al dinero prestado, depositado o invertido. Se representa por: I.

El dinero prestado, depositado o invertido se denomina "capital" o"principal" y se representa por: C.

Tanto el capital como el interés se expresan en unidades monetarias.

A la suma del capital más el interés producido se le llama "monto" o "importe", representándose como: M.

Es decir:         M = C + I   ... (1)

Cuando el préstamo es a corto plazo generalmente los intereses durante el tiempo de la transacción no se añaden al capital, denominándose interés simple.

El interés producido es una magnitud directamente proporcional al capital invertido y al tiempo de la transacción. Por lo que se verifica: I C × t.

De donde se cumple: I ÷ Ct = K (constante)

En este caso, la consante de proporcionalidad "K", se suele representrar con "i" y se denomina tasa de interés. Esta constante depende de las condiciones del mercado, riesgo de la transacción, entre otros.

De este modo la fórmula para calcular el interés simple es: I = C.i.t ... (2)

Nota: Se debe tener especial cuidado de sustituir la tasa de interés por su equivalente decimal.

Ejemplo Nº 1:	Halle el interés simple producido por un capital de $2700 colocado al 4% durante 3,5 años.
Sol.	Se tiene: C = $2700, i = 4%, t = 3,5 años
	Cuando no se especifica el periodo correspondiente a la tasa de interés, se asumirá que es anual.
	Es necesario que tanto la tasa de interés como el tiempo de la transacción estén expresados en la misma unidad temporal.
	I = $2700 × 0,04 × 3,5 = $378

Si reemplazamos la expresión (2) en la expresión (1) tenemos:

                                M = C(1 + it)     ...(3)

Ejemplo Nº 2:	Halle el monto correspondiente a un capital de $1300 colocado al 4% luego de un año.
Sol.	Se tiene: C = $1300, i = 4%, t = 1 año
	Empleando la expresión (3) tenemos: M = $1300 (1 + 0,04 × 1) = $1300 (1,04) = $1352

TIPOS DE INTERÉS SIMPLE

Introducción

Para el cálculo del interés simple se pueden presentar dos modalidades según como esté dado el tiempo: en días o indicando las fechas. Precisamente, cada una de dichas posibilidades da origen a un tipo de interés simple, los mismos que detallamos a continuación:

Interés Simple Exacto y Ordinario

Interés Simple Exacto

Se denomina "interés simple exacto" a aquél que se calcula considerando la cantidad de días de un año según el calendario. Es decir 365 días o 366 días si el año fuese bisiesto.

Interés Simple Ordinario

Se denomina "interés simple ordinario" a aquél que se calcula considerando que el año tiene 360 días. También se le conoce como año comercial.

Interés simple

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Ejemplo Nº 1:	Determine el interés simple exacto y ordinario sobre $1000, al 5%, durante 50 días.
	Los datos son: C = $1000 , i = 5% y t = 50 días
	Es necesario convertir el tiempo de días a años, pues la tasa de interés es anual.
	Interés Exacto: I = $1000 × 0,05 × 50 × (1 / 365) = $13,70
	Interés Ordinario: I = $1000 × 0,05 × 50 × (1 / 360) = $13,89

Cálculo del Tiempo Transcurrido entre dos Fechas

Cálculo Exacto

Decimos que el tiempo transcurrido entre dos fechas se calcula "exactamente" cuando se considera la cantidad exacta de días de cada mes según el calendario.

Cálculo Aproximado

Decimos que el tiempo transcurrido entre dos fechas se calcula "aproximadamente" cuando se considera que cada mes, independientemente de cual sea este, tiene 30 días.

Regla de los nudillos: Es una regla mnemotécnica que consiste en cerrar el puño y asignar meses correlativamente a los nudillos así como a las zonas "entre nudillos". Siempre se debe empezar con un extremo es decir con un nudillo. Los nudillos representarán a los meses de 31 días, y los espacios entre nudillos los meses de menos de 31 días. El primer nudillo representa a enero (y equivale a 31 días). El espacio próximo representa a febrero (y por ser un espacio entre nudillos tiene menos de 31 días, en este caso 29 o 28 días). El segundo nudillo representa a marzo (y equivale a 31 días) y así sucesivamente hasta llegar a julio, representado también por un nudillo (que equivale a 31 días). Luego se comienza de nuevo la cuenta con un nudillo extremo, que esta vez representará a agosto (y equivaldrá a 31 días). Se continúa la cuenta hasta llegar a diciembre, representado también por un nudillo (considerándosele de 31 días).

Ejemplo Nº 2:	Determine en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 20 de junio de 2009 y el 24 de agosto del mismo año.
	Tiempo Exacto:
	Mes	Nº días
	junio	10
	julio	31
	agosto	24
	TOTAL	65
	Tiempo Aproximado:
	Mes	Nº días
	junio	10
	julio	30
	agosto	24
	TOTAL	64

Ejemplo Nº 3:	Determine el interés simple exacto y ordinario correspondiente a un préstamo por $4000 al 6%, del 20 de abril al 1^o de julio de 2011, calculando el tiempo en forma exacta y aproximada.
	Tiempo Exacto:
	Mes	Nº días
	abril	10
	mayo	31
	junio	30
	julio	1
	TOTAL	72
	Tiempo Aproximado:
	Mes	Nº días
	abril	10
	mayo	30
	junio	30
	julio	1
	TOTAL	71
	Interés Exacto con Tiempo Exacto:
	I = $4000 × 0,06 × 72 × (1/365) = $47,34
	Interés Exacto con Tiempo Aproximado:
	I = $4000 × 0,06 × 71 × (1/365) = $46,68
	Interés Ordinario con Tiempo Exacto:
	I = $4000 × 0,06 × 72 × (1/360) = $48
	Interés Ordinario con Tiempo Aproximado:
	I = $4000 × 0,06 × 71 × (1/360) = $47,33
Nota: De estas cuatro posibilidades, aquella en la que se obtiene un mayor interés es conocida como según el "sistema bancario".

¿QUÉ ES UN PAGARÉ?

Introducción

El Pagaré

Es un documento mediante el cual una persona se compromete a pagar a otra una cantidad de dinero, con interés o sin él, en una fecha dada. La persona que firma el documento y se compromete a pagar se llama el deudor u otorgante, y la persona que cobra el pagaré se denomina el acreedor, beneficiario o tenedor.

Todo pagaré debe constar de lo siguiente:

Fecha de emisión: Es la fecha en la que se extiende el pagaré.

Fecha de vencimiento: Es la fecha en la que se debe pagar la deuda.

Plazo: Es el tiempo entre las fechas de emisión y vencimiento.

Valor Nominal: Es la cantidad indicada en el pagaré, pudiendo ser el capital o el monto.

Valor de Vencimiento: Es la cantidad que deberá pagarse en la fecha de vencimiento.

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Ejemplo Nº 1:	Determine el Valor al vencimiento del siguiente pagaré.

Sol.	Primero identificaremos los principales elementos del pagaré.
	Valor Nominal (Capital): S/. 12000
	Deudor: Malena Núñez
	Acreedor: Romina Reyes
	Determinaremos el tiempo transcurrido en forma exacta:
	Mes N^o de días
	enero 19
	febrero 28
	marzo 31
	abril 30
	mayo 31
	junio 8
	TOTAL 147
	Determinaremos el Valor al vencimiento:
	M = S/.12000 (1 + 0,05 × 147 ×(1/360)) = S/.12245

Interés Moratorio

Es aquel que se genera cuando la deuda no se cancela en la fecha de vencimiento. Se debe calcular sobre el capital originalmente prestado y no sobre el monto.

Ejemplo Nº 2:	Si en el caso anterior el deudor paga la deuda el 30 de junio, cuánto pagará por concepto de mora.
Sol.	La tasa de interés moratoria es de 10%.
	El tiempo transcurrido entre la fecha de vencimiento y la fecha de pago es: 30 - 8 = 22 días
	I = S/.12000 × 0,10 × 22 × (1/360) = S/.73,33

Sucesiones y series

Sucesiones

Introducción

Suponga que a usted le regalan un pareja de conejitos blancos recién nacidos. Luego de un mes, los conejos maduran y cambian a color pardo. Al madurar se reproducen y luego de un mes, tienen un par de conejitos blancos. Después de 6 meses, ¿cuántos pares de conejos tendrás?.

En el siguiente cuadro se ilustra lo acontecido en cada una de las seis semanas:

Mes	Gráfico	# de pares
0		1
1		1
2		2
3		3
4		5
5		8
6		13

	Los resultados obtenidos en la tercera columna fueron: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
	¿Observas algo peculiar en la composición de dichos números?	Respuesta

	Esta secuencia de números es precisamente una de las más importantes en la Matemática y recibe el nombre de "Sucesión de Fibonacci", pues fue su descubridor el matemático Leonardo de Pisa apodado Fibonacci que significa "hijo de Bonacci".

SUCESIONES

Una sucesión es una secuencia ordenada de números.

Las sucesiones se representan de la siguiente forma:

t₁, t₂, t₃, ..., t_n, ...

donde el subíndice indica la posición de cada término, y los t_i no son necesariamente distintos entre sí.

Cuando el último término aparece en una expresión, estamos ante una sucesión finita, mientras que si no aparece se tratará de una sucesión infinita.

Decimos que una sucesión es definida si posee una regla (generalmente una fórmula) que permite conocer sus términos.

Ejemplos:
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... se trata de la sucesión de números pares, creciente e infinita 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... se trata de la sucesión de inversas de números naturales, decreciente e infinita. 10, 9, 8, 7, 6. se trata de una sucesión finita y decreciente de números naturales.

Progresiones Aritméticas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A.)

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que se cumple que la diferencia de dos consecutivos es un valor constante, llamado "diferencia común". Precisamente como este tipo de progresiones se denomina así porque es la "razón aritmética" el valor constante.

Si identificamos la "diferencia constante" con d, entonces una P.A. tendrá la forma siguiente:

t₁, t₁ + d, t₁ + 2d, ..., t₁ + (n - 1)d, ...

Cuando la diferencia común es positiva, la progresión es creciente, mientras que si es negativa, la progresión es decreciente.

Ejemplos:
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... se trata de una P.A. creciente donde d = 2 10, 8, 6, 4, 2 se trata de una P.A. decreciente donde d = -2

Término n-ésimo
La expresión que permite determinar un término cualquiera de una progresión aritmética, conocido su primer término y su diferencia común es:
t_n = t₁ + (n - 1)d

Ejemplos:
Determine el término 24 de la siguiente P.A.: 2, 4, 6, 8, ... En este caso: t₁ = 2 y d = 2, luego: t₂₄ = 2 + (24 - 1)(2) = 2 + 23 × 2 = 2 + 46 = 48 Determine el término 30 de la siguiente P.A.: 35, 40, 45, ... En este caso: t₁ = 35 y d = 5, luego: t₃₀ = 35 + (30 - 1)(5) = 35 + 29 × 5 = 35 + 145 = 180

SERIES

Se llama serie a la suma de los términos de una sucesión.

Ejemplo:
La serie de la siguiente sucesión: 2, 5, 10, 17, 26 es: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 = 60

En 1877 en Alemania, en una clase de matemática el profesor encargó a sus alumnos que determinen la suma de los cien primeros números naturales, pensando que con ello los iba a tener entretenidos por un buen tiempo. Sin embargo, ante su asombro, un alumno dio la respuesta correcta casi de inmediato. El alumno explicó al profesor que lo que había hecho era multiplicar por 50 la suma del primer y último número. Más tarde este niño de nombre Karl Friedrich Gauss, se convertiría en uno de los más grandes matemáticos, conociéndosele como el "Príncipe de las matemáticas", de quien se dice fue el último matemático que conoció toda la matemática de su época.

SERIE ARITMÉTICA

Es la suma de los términos de una progresión aritmética, y su forma general es:

t₁ + (t₁ + d) + (t₁ + 2d) + ... + (t₁ + (n - 1)d) ... (1)

Si representamos con "S" a la serie aritmética y con "u" al último término, entonces la expresión (1) puede escribirse como:

S = t₁ + (t₁ + d) + (t₁ + 2d) + ... + (u - 2d) + (u - d) + u ... (2)

               o equivalentemente:

S = u + (u - d) + (u - 2d) + ... + (t₁ + 2d) + (t₁ + d) + t₁ ... (3)

               sumando las expresiones (2) y (3) tenemos:

2S = (u + t₁) + (u + t₁) + (u + t₁) + ... + (u + t₁) + (u + t₁) + (u + t₁) = n (u + t₁)

               de donde:

S = n (u + t₁) / 2

Ejemplos:

Determine la serie de la siguiente P.A.:    2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

En este caso:       t₁ = 2,     u = 14     y     n = 7

Aplicando la fórmula:      S = 7 × (2 + 14) / 2 = 56
Determine la suma de los primeros 20 términos de la siguiente P.A.:     35, 40, 45, ...

En este caso, es necesario conocer primero el término 20:       t₂₀ = 35 + (20 - 1)(5) = 130

Luego, aplicando la fórmula tenemos:       S = 20 × (35 + 130) / 2 = 1650

Progresiones Geométricas

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P.G.)

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que se cumple que el cociente de dos términos consecutivos es un valor constante. Precisamente este tipo de progresiones se denomina así porque es la "razón geométrica" cuyo valor es constante.

Si identificamos la "razón constante" con r, entonces una P.G. tendrá la forma siguiente:

t₁, t₁ × r, t₁ × r², ..., t₁ × r^(n-1), ...

Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, ... se trata de una P.G. infinita creciente donde r = 2 160, 80, 40, 20, 10, 5 se trata de una P.G. finita decreciente donde r = 1/2

Término n-ésimo
La expresión que permite determinar un término cualquiera de una progresión geométrica, conocido su primer término y su razón es:
t_n = t₁ × r^{(n - 1)}

Ejemplos:
Determine el término 12 de la siguiente P.G.: 2, 4, 8, ... En este caso: t₁ = 2 y r = 2, luego: t₁₂ = 2 × 2 ^{(12 - 1)} = 2 × 2 ¹¹ = 4096 Determine el octavo término de la siguiente P.G.: 43046721, 14348907, 4782969, ... En este caso: t₁ = 43046721 y r = 1/3, luego: t₁₀ = 43046721 × (1/3)^(10-1) = 43046721 × (1/3) ⁹ = 2187

SERIE GEOMÉTRICA

Es la suma de los términos de una progresión geométrica, y su forma general es:

S = t₁ + t₁ × r + t₁ × r² + ... + t₁ × r^(n-1) ... (1)

               si multiplicamos la expresión (1) por "r" tenemos:

rS = rt₁ + t₁ × r ² + t₁ × r³ + ... + t₁ × rⁿ ... (2)

               restando la expresión (2) menos la (1) tenemos:

rS - S = (r - 1)S = t₁ - t₁ × r ⁿ

               de donde:

S = t₁ × (r ⁿ - 1) / (r - 1)

Ejemplo:
Encuentre la suma de los primeros 8 términos de la siguiente P.G.: 8, 16, 32, ... En este caso: t₁ = 8, y r = 2 Aplicando la fórmula: S = 8 × (2 ⁸ - 1) / (2 - 1) = 2040

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Halle el 12^o término y la suma de los doce primeros términos de las siguientes progresiones:

	a. 8, 14, 20, ...	Respuesta 1a
	b. 8, 13, 18, ...	Respuesta 1b
	c. 148, 136, 124,...	Respuesta 1c
	d. 6, 12, 24, ...	Respuesta 1d

2.	Halle la suma de los 50 primeros números pares.	Respuesta 2
3.	Por la compra de un edificio, una empresa se compromete a pagar $3000, al final del primer mes, $2900 al final del segundo mes, $2800 al final del tercer mes y, así sucesivamente. ¿Cuánto pagará la empresa por el edicio si se efectúan 15 pagos en total?	Respuesta 3
4.	Un hotel tiene un costo de $600,000. Al final de cada año, los dueños deducen de su valor determinado al principio del año, el 10% por concepto de depreciación. ¿Cuál será el valor del hotel al final de 20 años?	Respuesta 4

miércoles, 9 de marzo de 2011

Regla de Tres y Porcentaje

¿Qué es Regla de Tres?

Introducción

La regla de tres fue dada a conocer por los árabes en la Edad Media, siendo aprendida y difundida en el mundo occidental en el siglo XII por el matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Se conoció con el nombre de "Regla de los Mercaderes".

REGLA DE TRES

Es la operación aritmética que consiste en determinar el valor del cuarto término de una proporción geométrica, conociéndose los otros valores de los otros tres términos de la proporción.

A. REGLA DE TRES SIMPLE

Es cuando sólo intervienen dos magnitudes proporcionales, conociendo dos valores de una de ellas, y uno sólo de la otra.

Clases:

Directa: Cuando las magnitudes son directamente proporcionales.

Se cumple por tanto: a₁ / b₁ = a₂ / x de donde x = (a₂ b₁) / a₁

Ejemplo: Si una pareja gasta $3500 por hospedarse durante una semana en un hotel cinco estrellas, ¿cuánto hubiera gastado si se hospedaban sólo 5 días en similares condiciones?.

como a mayor número de días el gasto en hospedaje es mayor, entonces las magnitudes son directamente proporcionales, luego, $3500 se deberá multiplicar por (5/7). Es decir:

x = $3500(5/7) = $2500
Inversa: Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales.

Se cumple por tanto: a₁ b₁ = a₂ x de donde x = (a₁ b₁) / a₂

Ejemplo: En un batallón de 400 soldados las raciones alcanzan para 20 días, ¿cuánto durará el alimento si ingresan 100 soldados más?

como a mayor número de soldados el alimento alcanza para menos días, entonces las magnitudes son inversamente proporcionales, luego, 20 se tendrá que multiplicar por (400/500). Es decir:

x = 20 (400/500) = 16 días

Regla de Tres Compuesta

B. Regla de Tres Compuesta

Es cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Método Práctico:

Se plantea el problema. Se elabora un cuadro indicando las magnitudes y sus valores particulares.
Se establece el tipo de relación (directa o inversa) entre cada magnitud y la magnitud de la incógnita.
Se multiplica el dato correspondiente a la magnitud de la incógnita por las razones de los valores particulares de las otras magnitudes. En el caso de que la relación sea directamente proporcional, la razón deberá ser inversa.

Ejemplo:
Una delegación estudiantil integrada por 8 personas paga S/. 1920 por 6 días en un hotel. ¿Cuántos días podrían estar en el mismo hotel y en las mismas condiciones otra delegación de 10 personas si abona S/ 3200?
Sol.
Planteamiento y relación entre magnitudes:

Nº de personas	Nº de días	Cantidad de dinero
8	6	1920
10	x	3200
I.P.		D.P.

Como la relación entre el número de días y el número de días es inversamente proporcional, si aumenta el número de personas, el número de días debe disminuir, por lo tanto la razón que debemos considerar para multiplicar es: 8/10
Como la relación entre el número de días y la cantidad de dinero es directamente proporcional, si aumenta la cantidad de dinero, el número de días debe aumentar, por lo tanto la razón que debemos considerar para multiplicar es: 3200/1920
Finalmente hallamos x de la siguiente forma:
x = 6 (8/10)(3200/1920) = 8 días

Ejercicios Resueltos

Ejercicios:

Un avión recorre cierta distancia en 5 horas empleando una velocidad de 600 km/h. ¿Qué velocidad debe tener otro avión similar para recorrer el mismo trayecto en 3 horas?.
Se trata de un problema de regla de tres simple inversa, pues, las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, es decir, para una misma distancia, a mayor velocidad menor tiempo.

Luego:

Velocidad(km/h) Tiempo (horas)

supuesto 600 5

pregunta x 3

I.P.
Es decir: x = 600 (5/3) = 1000 km/h
Si en una fotografía un niño mide 4cm cuando su estatura real es de 120 cm, ¿cuál será la estatura real de su hermano, si en la fotografía mide 5 cm?.
Se trata de un problema de regla de tres simple directa, pues, las magnitudes estatura y medida en la fotografía son directamente proporcionales, es decir, una persona de mayor estatura medirá más en la fotografía.

Luego:

Estatura (cm) Medida en la fotografía (cm)

supuesto 120 4

pregunta x 5

D.P.
Es decir: x = 120(5/4) = 150 cm
Para hacer una construcción, 35 obreros trabajaron 270 días de 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros se hubieran necesitado para hacer el mismo trabajo en 180 días trabajando 7 horas diarias?
Se trata de un problema de regla de tres compuesta.

Nº de obreros Nº de días Nº de horas diarias

supuesto 35 270 8

pregunta x 180 7

I.P. I.P.
Luego: x = 35(270/180)(8/7) = 60 obreros
En 18 días un viajero, caminando 5 horas diarias, ha recorrido 900 km. ¿Cuántos km recorrerá en 15 días cami nando 8 horas diarias?
Se trata de un problema de regla de tres compuesta.

	Nº de días	Nº de horas diarias	Distancia (km)
supuesto	18	5	900
pregunta	15	8	x
	D.P.	D.P.

          Luego:      x = 900(15/18)(8/5) = 1200 km

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Si 6 latas de conserva cuestan S/.21, ¿cuánto costará 2 docenas de latas de la misma conserva?.	Respuesta 1
2.	Una delegación de turistas alquila una "coaster" para visitar un lugar turístico. El trayecto de ida lo realizó en 4 horas a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en retornar si lo hace a una velocidad de 80 km/h?.	Respuesta 2
3.	Un hotel de 20 metros de altura proyecta una sombra de 30 metros. ¿Cuál será la estatura de una persona que a la misma hora produce una sombra de 2,7m?	Respuesta 3
4.	50 operarios trabajan 9 horas diarias durante 12 días y logran hacer una zanja de 3240 m³. ¿Cuántos operarios serán necesarios para cavar una zanja de 7200 m³ si trabajan 8 horas diarias durante 15 días?.	Respuesta 4
5.	Una persona presta a otra $200 durante 4 meses y obtiene al final de este tiempo $100 de interés. ¿Cuánto hubiera recibido de interés si se hubiera prestado $400 durante 6 meses?.	Respuesta 5
6.	Dos grupos de alumnos deciden realizar un campamento. El primer grupo está formado por 5 estudiantes y tienen provisiones para 20 días a 3 raciones por día. Si el segundo grupo está formado por 6 estudiantes y deciden ingerir sólo 2 raciones diarias similares, ¿para cuántos días alcanzarán sus provisiones?.	Respuesta 6

¿Qué es porcentaje?

Introducción

El porcentaje llamado también tanto por ciento, tiene su origen en la palabra latina per centum, que significa por ciento. El cálculo del porcentaje es una de las operaciones aritméticas más empleadas en el campo comercial y financiero, pues se emplea para indicar, descuentos, utilidades, tasas de interés, tasas de crecimiento, etc. El simbolo empleado (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de la palabra ciento, cto. El primero que empleó este símbolo fue Delaporte en 1685 en su obra "Guía del Comerciante".

PORCENTAJE

EL término por ciento significa centésimas; es decir, el porcentaje de un número N es una fracción con numerador N y denominador 100. También se cumple que el porcentaje es una medida relativa que expresa la proporción de la parte respecto del todo.

Conversión de un porcentaje en fracción:

Todo porcentaje puede expresarse en forma de fracción ordinaria o en forma decimal. Para ello basta con dividir el valor porcentual entre 100, de la siguiente manera:

50% = 50/100 = 1/2 = 0,50
75% = 75/100 = 3/4 = 0,75
120% = 120/100 = 6/5 = 1,2

Problemas Fundamentales:

Son aquellos que pueden resolverse mediante el planteamiento de una regla de tres simple directa. Se pueden presentar los siguientes casos:

Hallar un número conociendo el porcentaje que representa de otro.
Hallar un número conociendo un porcentaje del mismo.
Hallar que porcentaje representa un número de otro.

Ejemplos:

¿Cuánto es el 10% de 6800?

        10%        x           x = 6800 (10%/100%) = 680
      100%    6800

¿Cuál es el número cuyo 17% es 1360?

        17%       1360           x = 1360 (100%/17%) = 8000
      100%          x

¿Qué porcentaje representa 7800 de 60000?

         x          7800           x = 7800 (100%/60000) = 13 %
      100%    60000

Ejercicios Resueltos

Ejercicios:

Se sabe que en un hotel el 60% de los clientes son varones. El 90% de los clientes varones está de vacaciones, al igual que el 85% de las clientes mujeres. ¿Qué porcentaje del total de clientes está de vacaciones?.
Si bien es cierto, el problema puede resolverse considerando variables para las incógnitas, es preferible, cuando los datos sean todos de tipo porcentual, asumir un valor o adoptar un supuesto. La cantidad que se adopte como supuesto no alterará los resultados, por ello se recomienda elegir un valor, que permita facilitar los cálculos posteriores.

Supongamos: total de clientes = 100
Podemos elaborar el siguiente esquema para representar los datos:
Los propietarios de un cine deciden incrementar el precio de la entrada en 10%. Como consecuencia del incremento del precio, el número de entradas vendidas disminuye en 5%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento de la recaudación?. Nota: Considere que la recaudación es el producto del número de entradas vendidas por el precio de la entrada.
Como en el caso anterior, se trata de un problema en el que sólo se cuenta con datos porcentuales, por lo tanto, podemos adoptar supuestos.

Supongamos:

precio de la entrada inicial = 100 u.m.
cantidad de entradas vendidas inicialmente = 100
La recaudación inicial por lo tanto es:
(100 u.m.)(100) = 10000 u.m.
Luego del incremento:
nuevo precio de entrada = 100 u.m. + 10 u.m.= 110 u.m.
nueva cantidad de entradas = 100 - 5 = 95
La nueva recaudación será: (110 u.m.)(95) = 10450 u.m.
Por lo tanto, el incremento de la recaudación fue:

10450 u.m. - 10000 u.m. = 450 u.m.

que representa:

(450 u.m. ÷ 10000 u.m.) × 100% = 4,5%
A un vendedor le hacen tres propuestas:
- 1^a Un sueldo fijo de S/. 3600.
- 2^a Un sueldo fijo de S/. 2500 y además una comisión de 2% sobre las ventas realizadas.
- 3^a Una comisión de 8% sobre las ventas realizadas, sin sueldo fijo.
Si se estima que las ventas anuales ascenderá a S/. 560000, ¿cuál de las tres ofertas será más ventajosa para el vendedor?
Sol.: Se puede resolver de dos formas, dependiendo cuál es el periodo de tiempo considerado para la comparación:

	Mensual	Anual
1^a Propuesta:	S/. 3600	S/.3600 ×12 = S/.43200
2^a Propuesta:	S/.2500 + 0,02 × (560000 ÷ 12) = S/. 3433,33	(S/.2500 × 12) + (0,02 × S/.560000) = S/.41200
3^a Propuesta:	0,08 × (560000 ÷ 12) = S/. 3733,33	(0,08 × S/.560000) = S/.44800
	Por lo tanto, la mejor propuesta es la tercera.

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Un artículo costó 360 soles y se vendió a 450 soles, ¿cuál es el porcentaje de ganancia sobre el costo? Nota: Precio de Venta = Precio de Costo + Ganancia	Respuesta 1
2.	¿A cómo hay que vender un artículo que costó 850 soles para ganar un 14% del costo?.	Respuesta 2
3.	Un avión tiene un quinto de sus asientos de "clase preferente" y el resto de "clase turista". Si el 75% de los asientos de clase preferente están vacios y el 85% de los de clase turista están ocupados, ¿cuál es el porcentaje de asientos ocupados en el avión?	Respuesta 3
4.	Una botella contiene medio litro de zumo de limón. El 80% del zumo de limón es agua. Si añado medio litro de agua, ¿cuál será el porcentaje de agua en la mezcla?	Respuesta 4
5.	Los resultados de una elección estudiantil se muestran a continuación.

	Luis	Juan	En blanco
Hombres	120	140	40
Mujeres	60	80	10

	a. ¿Cuál es el porcentaje de hombres respecto del total de electores?	Respuesta 5a
	b. ¿Cuál es el porcentaje de votos en blanco respecto de los votos emitidos?	Respuesta 5b
	c. Respecto de los hombres, ¿qué porcentaje votó por Luis?	Respuesta 5c
	d. Respecto del total de mujeres, ¿qué porcentaje votó por Juan?	Respuesta 5d

proporcionalidad y porcentaje

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martes, 8 de marzo de 2011

Razones y Proporciones

¿Qué es Razón?

Introducción

En diversas ocasiones de la vida diaria, realizamos comparaciones de diversa índole. Establecemos si un programa de televisión es mejor o no que otro, si determinada localidad es preferible respecto de otra para ir de paseo, etc. A veces también realizamos comparaciones entre valores numéricos, por ejemplo, si hemos dado dos prácticas, comparamos sus notas, para determinar si hemos empeorado, mejorado o nos mantenemos con igual rendimiento. Precisamente, cuando se trata de comparar dos cantidades numéricas, por ejemplo, la cantidad de turistas que han llegado a determinada localidad para una misma fecha en dos años consecutivos, encontramos que las formas comunes de comparación son: establecer la diferencia entre ellas o establecer el cociente. Por ejemplo, si en el año 2004 llegaron 1000 turistas y en el año 2005 llegaron 2000, podríamos decir que en el año 2005 llegaron 1000 turistas más (para lo cual fue necesario obtener la resta: 2000 - 1000), o podríamos decir que en el año 2005 se tuvo el doble de turistas que en el año 2004 (para lo cual fue necesario obtener el cociente: 2000/1000). Estos dos tipos de comparaciones es lo que en Matemática se denomina "razones".

Definición

Razón

Se denomina razón al resultado numérico de la comparación de dos magnitudes homogéneas.

Clases:
Razón Aritmética: Es la comparación por diferencia. Ejemplo: 900 km - 300 km = 600 km Razón Geométrica: Es la comparación por cociente. Ejemplo: 900 km / 300 km = 3

Representación:	Considerando las magnitudes homogéneas a y b.
Razón Aritmética: a - b Razón Geométrica: a : b ó a / b

Términos:
a :	antecedente
b :	consecuente

Lectura:
"a es a b"

¿Qué es Proporción?

Definición

Proporción

Se denomina proporción a la expresión de la igualdad de dos razones.

Clases:
Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas. (Equidiferencia) Representación: a - b = c - d Ejemplo: 600 km - 450 km = 700 km - 550 km Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas. (Equicociente) Representación: a : b :: c : d ó a / b = c / d Ejemplo: 600 km / 200 km = 1500 km / 500 km

Términos:
a y c : antecedentes	; a y d : extremos

b y d : consecuentes	; b y c : medios

Lectura:
"a es a b como c es a d"

Tipos de Proporción Geométrica

Clases:

Proporción Geométrica Discreta: Es aquella en la cual sus cuatro términos son diferentes entre sí.

Ejemplo: 600 km / 20 km = 360 km / 12 km

En una proporción geométrica discreta se denomina "cuarta proporcional" a cada uno de sus términos y se dice que cada uno de ellos es "cuarta proporcional" de los otros tres. Así por ejemplo decimos que:

600 es "cuarta proporcional" de 20, 360 y 12.

20 es "cuarta proporcional" de 600, 360 y 12.

360 es "cuarta proporcional" de 600, 20 y 12.

12 es "cuarta proporcional" de 600, 20 y 360.

Proporción Geométrica Continua:      Aquella en la cual sus términos medios o términos extresmos son iguales.

Representación:      a : b :: b : c       a : b :: c : a       ó       a / b = b / c        a / b = c / a

Ejemplo:      1 / 3 = 3 / 9

En una proporción geométrica continua se denomina "tercera proporcional" a cada uno de sus términos no iguales, mientras que se denomina "media proporcional" o "media geométrica al término que se repite. Así por ejemplo decimos que:

1 es "tercera proporcional" de 3 y 9.

9 es "tercera proporcional" de 1 y 3.

360 es "media geométrica" de 1 y 9.

Ejemplos:

Halle la cuarta proporcional de 8, 10 y 20.
Se trata de una proporción geométrica discreta. Inicialmente se admite más de una respuesta, dependiendo de la ubicació de la incógnita:
- x / 8 = 10 / 20 entonces x = 8(10)/20 de donde x = 4
- 8 / x = 10 / 20 entonces 8(20) = 10x de donde x = 16
- 8 / 10 = x / 20 entonces 8(20) = 10x de donde x = 16
- 8 / 10 = 20 / x entonces 8x = 20(10) de donde x = 25
  
  Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: "cuando se pida hallar la cuarta proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo.
Halle la tercera proporcional de 2 y 4.
Se trata de una proporción geométrica continua. Inicialmente se admiten dos respuestas, dependiendo de la ubicació de la incógnita:
- x / 2 = 2 / 4 entonces x = 2(2)/4 de donde x = 1
- 2 / 4 = 4 / x entonces 2x = 16 de donde x = 8
  
  Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: "cuando se pida hallar la tercera proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo.
Halle la media proporcional de 3 y 12.
Se trata de una proporción geométrica continua.
- 3 / x = x / 12 entonces 3(12) = x² de donde x = 6

Ejercicios Resueltos

La media geométrica de dos números de 12. Halle la diferencia positiva de los extremos sabiendo que la proporción que se forma tiene razón 1/4.

Sol.

Se trata de una proporción geométrica "continua", pues se indica el valor de la "media aritmética".

Se cumple: a/12 = 12/c = 1/4

Por el valor 1/4, se deduce que en esta proporción para cada razón, el antecedente es menor que el respectivo consecuente. Luego,

a < 12 y c > 12

de donde se deduce que la diferencia positiva, será la representada por "c - a".

Al igualar la primera razón con 1/4, tenemos: a/12 = 1/4 de donde a = 12(1)/4 = 3

Al igualar la segunda razón con 1/4, tenemos: 12/c = 1/4 de donde c = 12(4)/1 = 48

Finalmente entonces: c - a = 48 - 3 = 45
Halle dos números que son entre sí como 4 es a 9, sabiendo que su diferencia vale 60. Dé como respuesta la suma de dichos números.

Sol.

Formamos la proporción:    a/b = 4/9 ...(1)

la misma que con la finalidad de utilizar el coeficiente de proporcionalidad podemos expresar como:    a/4 = b/9 = k ...(2)

Luego, se cumple que:     a = 4k y     b = 9k

De la expresión (1) se deduce que a es menor que b.

Luego, 60 es el valor de la diferencia "b - a", es decir:

b - a = 60

Reemplazando dichos términos en función de k tenemos:

9k - 4k = 60 es decir, 5k = 60 de donde: k = 12
En una proporción continua el producto de sus términos es 1296. Halle la tercera proporcional sabiendo que el producto de sus dos primeros términos es 18.

Sol.

La proporción es de la forma:    a / b = b / c.

Se pide:    b = ?

Se cumple:    ac = b²

Luego, por el primer dato tenemos:     ab²c = 1296

de donde tenemos que:     b⁴ = 1296     y     b = 6

Además sabemos que: ab = 18     luego     a(6) = 18     de donde     a = 3

Finalmente, sustituyendo en la proporción original tenemos:

3 / 6 = 6 / x     de donde     x = 12

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Halle la cuarta proporcional de 6, 10 y 15.	Respuesta 1
2.	Halle la tercera proporcional de 6 y 18.	Respuesta 2
3.	Halle la media proporcional de 12 y 48.	Respuesta 3
4.	Dos números son entre sí como 5 es a 7. Halle dichos números sabiendo que su suma es 96.	Respuesta 4
5.	La suma de los términos de una proporción continua es 147. Halle la media proporcional sabiendo que la razón de la proporción y sus cuatro términos son enteros.	Respuesta 5
6.	A los cuatro términos de una proporción se le suma una misma cantidad, obteniéndose como resultado 72, 102, 92 y 132. Halle cada término.	Respuesta 6

Magnitudes Proporcionales

Definición

Magnitudes Directamente Proporcionales

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de sus respectivos valores es siempre constante. Es decir: A B si y sólo si a_i / b_i = k , donde k representa un valor constante. Se cumple: a₁ / b₁ = a₂ / b₂ = ... = k

Ejemplo: Costo de aviso vs. N^o de palabras (Avisos Clasificados)
Costo (S/.)	N^o de palabras
25	5
50	10
75	15
100	20
Representación Gráfica:

Definición

Magnitudes Inversamente Proporcionales

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto de sus respectivos valores es siempre constante. Es decir: A I.P. B si y sólo si a_i b_i = k , donde k representa un valor constante. Se cumple: a₁ b₁ = a₂ b₂ = ... = k

Ejemplo: Alquiler a S/. 200 de una coaster de 26 pasajeros de capacidad para una paseo.
N^o pasajeros	Costo de Pasaje
25	8
20	10
10	20
5	40
Representación Gráfica:

Propiedad 1
Si A es inversamente proporcional a B entonces A será directamente proporcional a la inversa de B. A I.P. B entonces A 1/B

Propiedad 2
Si A es directamente proporcional a B (cuando C es constante) y ademámas A es directamente proporcional a C (cuando B es constante) entonces A será directamente proporcional al producto de B y C.
A B (cuando C es cte.) A C (cuando B es cte.)	entonces	A BC

Matemática - FCsCTH - UIGV

viernes, 11 de marzo de 2011

Interés simple

¿QUÉ ES INTERÉS SIMPLE?

Introducción

Definición

TIPOS DE INTERÉS SIMPLE

Introducción

Interés Simple Exacto y Ordinario

Cálculo del Tiempo Transcurrido entre dos Fechas

¿QUÉ ES UN PAGARÉ?

Introducción

Sucesiones y series

Introducción

miércoles, 9 de marzo de 2011

Regla de Tres y Porcentaje

Introducción

Introducción

martes, 8 de marzo de 2011

Razones y Proporciones

Introducción

Definición

Definición

Definición

Definición