miércoles, 9 de marzo de 2011

Regla de Tres y Porcentaje

¿Qué es Regla de Tres?

Introducción

La regla de tres fue dada a conocer por los árabes en la Edad Media, siendo aprendida y difundida en el mundo occidental en el siglo XII por el matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Se conoció con el nombre de "Regla de los Mercaderes".

REGLA DE TRES
Es la operación aritmética que consiste en determinar el valor del cuarto término de una proporción geométrica, conociéndose los otros valores de los otros tres términos de la proporción.


A. REGLA DE TRES SIMPLE
Es cuando sólo intervienen dos magnitudes proporcionales, conociendo dos valores de una de ellas, y uno sólo de la otra.

Clases:
  1. Directa:  Cuando las magnitudes son directamente proporcionales.

    Se cumple por tanto:     a1 / b1 = a2 / x      de donde      x = (a2 b1) / a1

    Ejemplo: Si una pareja gasta $3500 por hospedarse durante una semana en un hotel cinco estrellas, ¿cuánto hubiera gastado si se hospedaban sólo 5 días en similares condiciones?.

    como a mayor número de días el gasto en hospedaje es mayor, entonces las magnitudes son directamente proporcionales, luego, $3500 se deberá multiplicar por (5/7). Es decir:

    x = $3500(5/7) = $2500

  2. Inversa:  Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales.

    Se cumple por tanto:     a1 b1 = a2 x      de donde      x = (a1 b1) / a2

    Ejemplo: En un batallón de 400 soldados las raciones alcanzan para 20 días, ¿cuánto durará el alimento si ingresan 100 soldados más?

    como a mayor número de soldados el alimento alcanza para menos días, entonces las magnitudes son inversamente proporcionales, luego, 20 se tendrá que multiplicar por (400/500). Es decir:

    x = 20 (400/500) = 16 días
Regla de Tres Compuesta


B. Regla de Tres Compuesta
Es cuando intervienen más de dos magnitudes proporcionales.

Método Práctico:
  1. Se plantea el problema. Se elabora un cuadro indicando las magnitudes y sus valores particulares.
  2. Se establece el tipo de relación (directa o inversa) entre cada magnitud y la magnitud de la incógnita.
  3. Se multiplica el dato correspondiente a la magnitud de la incógnita por las razones de los valores particulares de las otras magnitudes. En el caso de que la relación sea directamente proporcional, la razón deberá ser inversa.

Ejemplo:
Una delegación estudiantil integrada por 8 personas paga S/. 1920 por 6 días en un hotel. ¿Cuántos días podrían estar en el mismo hotel y en las mismas condiciones otra delegación de 10 personas si abona S/ 3200?
Sol.
Planteamiento y relación entre magnitudes:

Nº de personasNº de díasCantidad de dinero

861920

10x3200

I.P.
D.P.

Como la relación entre el número de días y el número de días es inversamente proporcional, si aumenta el número de personas, el número de días debe disminuir, por lo tanto la razón que debemos considerar para multiplicar es: 8/10
Como la relación entre el número de días y la cantidad de dinero es directamente proporcional, si aumenta la cantidad de dinero, el número de días debe aumentar, por lo tanto la razón que debemos considerar para multiplicar es: 3200/1920
Finalmente hallamos x de la siguiente forma:
x = 6 (8/10)(3200/1920) = 8 días


Ejercicios Resueltos

Ejercicios:
  1. Un avión recorre cierta distancia en 5 horas empleando una velocidad de 600 km/h. ¿Qué velocidad debe tener otro avión similar para recorrer el mismo trayecto en 3 horas?.
    Se trata de un problema de regla de tres simple inversa, pues, las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, es decir, para una misma distancia, a mayor velocidad menor tiempo.

    Luego:
    Velocidad(km/h)Tiempo (horas)
    supuesto6005
    preguntax3
    I.P.
              Es decir:      x = 600 (5/3) = 1000 km/h
  2. Si en una fotografía un niño mide 4cm cuando su estatura real es de 120 cm, ¿cuál será la estatura real de su hermano, si en la fotografía mide 5 cm?.
    Se trata de un problema de regla de tres simple directa, pues, las magnitudes estatura y medida en la fotografía son directamente proporcionales, es decir, una persona de mayor estatura medirá más en la fotografía.

    Luego:
    Estatura (cm)Medida en la fotografía (cm)
    supuesto1204
    preguntax5
    D.P.
              Es decir:      x = 120(5/4) = 150 cm
  3. Para hacer una construcción, 35 obreros trabajaron 270 días de 8 horas diarias. ¿Cuántos obreros se hubieran necesitado para hacer el mismo trabajo en 180 días trabajando 7 horas diarias?
    Se trata de un problema de regla de tres compuesta.

    Nº de obrerosNº de díasNº de horas diarias
    supuesto352708
    preguntax1807
    I.P.I.P.
              Luego:      x = 35(270/180)(8/7) = 60 obreros
  4. En 18 días un viajero, caminando 5 horas diarias, ha recorrido 900 km. ¿Cuántos km recorrerá en 15 días cami nando 8 horas diarias?
          Se trata de un problema de regla de tres compuesta.
Nº de díasNº de horas diariasDistancia (km)
supuesto185900
pregunta158x
D.P.D.P.
          Luego:      x = 900(15/18)(8/5) = 1200 km

Ejercicios Propuestos


Ejercicios:
1.Si 6 latas de conserva cuestan S/.21, ¿cuánto costará 2 docenas de latas de la misma conserva?.
Respuesta 1
2.Una delegación de turistas alquila una "coaster" para visitar un lugar turístico. El trayecto de ida lo realizó en 4 horas a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en retornar si lo hace a una velocidad de 80 km/h?.
Respuesta 2
3.Un hotel de 20 metros de altura proyecta una sombra de 30 metros. ¿Cuál será la estatura de una persona que a la misma hora produce una sombra de 2,7m?
Respuesta 3
4.50 operarios trabajan 9 horas diarias durante 12 días y logran hacer una zanja de 3240 m3. ¿Cuántos operarios serán necesarios para cavar una zanja de 7200 m3 si trabajan 8 horas diarias durante 15 días?.
Respuesta 4
5.Una persona presta a otra $200 durante 4 meses y obtiene al final de este tiempo $100 de interés. ¿Cuánto hubiera recibido de interés si se hubiera prestado $400 durante 6 meses?.
Respuesta 5
6.Dos grupos de alumnos deciden realizar un campamento. El primer grupo está formado por 5 estudiantes y tienen provisiones para 20 días a 3 raciones por día. Si el segundo grupo está formado por 6 estudiantes y deciden ingerir sólo 2 raciones diarias similares, ¿para cuántos días alcanzarán sus provisiones?.
Respuesta 6


¿Qué es porcentaje?

Introducción

El porcentaje llamado también tanto por ciento, tiene su origen en la palabra latina per centum, que significa por ciento. El cálculo del porcentaje es una de las operaciones aritméticas más empleadas en el campo comercial y financiero, pues se emplea para indicar, descuentos, utilidades, tasas de interés, tasas de crecimiento, etc. El simbolo empleado (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de la palabra ciento, cto. El primero que empleó este símbolo fue Delaporte en 1685 en su obra "Guía del Comerciante".

PORCENTAJE
EL término por ciento significa centésimas; es decir, el porcentaje de un número N es una fracción con numerador N y denominador 100. También se cumple que el porcentaje es una medida relativa que expresa la proporción de la parte respecto del todo.


Conversión de un porcentaje en fracción:
Todo porcentaje puede expresarse en forma de fracción ordinaria o en forma decimal. Para ello basta con dividir el valor porcentual entre 100, de la siguiente manera:
  1. 50% = 50/100 = 1/2 = 0,50

  2. 75% = 75/100 = 3/4 = 0,75

  3. 120% = 120/100 = 6/5 = 1,2
Problemas Fundamentales:
Son aquellos que pueden resolverse mediante el planteamiento de una regla de tres simple directa. Se pueden presentar los siguientes casos:
  1. Hallar un número conociendo el porcentaje que representa de otro.

  2. Hallar un número conociendo un porcentaje del mismo.

  3. Hallar que porcentaje representa un número de otro.
Ejemplos:
  1. ¿Cuánto es el 10% de 6800?

            10%        x           x = 6800 (10%/100%) = 680
      100%    6800
  2. ¿Cuál es el número cuyo 17% es 1360?

            17%       1360           x = 1360 (100%/17%) = 8000
      100%          x
  3. ¿Qué porcentaje representa 7800 de 60000?

             x          7800           x = 7800 (100%/60000) = 13 %
      100%    60000

Ejercicios Resueltos


Ejercicios:
  1. Se sabe que en un hotel el 60% de los clientes son varones. El 90% de los clientes varones está de vacaciones, al igual que el 85% de las clientes mujeres. ¿Qué porcentaje del total de clientes está de vacaciones?.
    Si bien es cierto, el problema puede resolverse considerando variables para las incógnitas, es preferible, cuando los datos sean todos de tipo porcentual, asumir un valor o adoptar un supuesto. La cantidad que se adopte como supuesto no alterará los resultados, por ello se recomienda elegir un valor, que permita facilitar los cálculos posteriores.

    Supongamos: total de clientes = 100
    Podemos elaborar el siguiente esquema para representar los datos:
  2. Los propietarios de un cine deciden incrementar el precio de la entrada en 10%. Como consecuencia del incremento del precio, el número de entradas vendidas disminuye en 5%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento de la recaudación?. Nota: Considere que la recaudación es el producto del número de entradas vendidas por el precio de la entrada.
    Como en el caso anterior, se trata de un problema en el que sólo se cuenta con datos porcentuales, por lo tanto, podemos adoptar supuestos.

    Supongamos:

    precio de la entrada inicial = 100 u.m.
    cantidad de entradas vendidas inicialmente = 100
    La recaudación inicial por lo tanto es:
    (100 u.m.)(100) = 10000 u.m.
    Luego del incremento:
    nuevo precio de entrada = 100 u.m. + 10 u.m.= 110 u.m.
    nueva cantidad de entradas = 100 - 5 = 95
    La nueva recaudación será: (110 u.m.)(95) = 10450 u.m.
    Por lo tanto, el incremento de la recaudación fue:

    10450 u.m. - 10000 u.m. = 450 u.m.

    que representa:

    (450 u.m. ÷ 10000 u.m.) × 100% = 4,5%
  3. A un vendedor le hacen tres propuestas:

    • 1a Un sueldo fijo de S/. 3600.
    • 2a Un sueldo fijo de S/. 2500 y además una comisión de 2% sobre las ventas realizadas.
    • 3a Una comisión de 8% sobre las ventas realizadas, sin sueldo fijo.
    Si se estima que las ventas anuales ascenderá a S/. 560000, ¿cuál de las tres ofertas será más ventajosa para el vendedor?
    Sol.: Se puede resolver de dos formas, dependiendo cuál es el periodo de tiempo considerado para la comparación:
MensualAnual
1a Propuesta:S/. 3600 S/.3600 ×12 = S/.43200
2a Propuesta:S/.2500 + 0,02 × (560000 ÷ 12) = S/. 3433,33(S/.2500 × 12) + (0,02 × S/.560000) = S/.41200
3a Propuesta:0,08 × (560000 ÷ 12) = S/. 3733,33(0,08 × S/.560000) = S/.44800

Por lo tanto, la mejor propuesta es la tercera.

Ejercicios Propuestos


Ejercicios:
1.Un artículo costó 360 soles y se vendió a 450 soles, ¿cuál es el porcentaje de ganancia sobre el costo?
Nota: Precio de Venta = Precio de Costo + Ganancia
Respuesta 1
2.¿A cómo hay que vender un artículo que costó 850 soles para ganar un 14% del costo?.
Respuesta 2
3.Un avión tiene un quinto de sus asientos de "clase preferente" y el resto de "clase turista". Si el 75% de los asientos de clase preferente están vacios y el 85% de los de clase turista están ocupados, ¿cuál es el porcentaje de asientos ocupados en el avión?
Respuesta 3
4.Una botella contiene medio litro de zumo de limón. El 80% del zumo de limón es agua. Si añado medio litro de agua, ¿cuál será el porcentaje de agua en la mezcla?
Respuesta 4
5.Los resultados de una elección estudiantil se muestran a continuación.
LuisJuanEn blanco
Hombres120 14040
Mujeres608010
a. ¿Cuál es el porcentaje de hombres respecto del total de electores?
Respuesta 5a
b. ¿Cuál es el porcentaje de votos en blanco respecto de los votos emitidos?
Respuesta 5b
c. Respecto de los hombres, ¿qué porcentaje votó por Luis?
Respuesta 5c
d. Respecto del total de mujeres, ¿qué porcentaje votó por Juan?
Respuesta 5d
proporcionalidad y porcentaje
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