Sucesiones y series

Sucesiones

Introducción

Suponga que a usted le regalan un pareja de conejitos blancos recién nacidos. Luego de un mes, los conejos maduran y cambian a color pardo. Al madurar se reproducen y luego de un mes, tienen un par de conejitos blancos. Después de 6 meses, ¿cuántos pares de conejos tendrás?.

En el siguiente cuadro se ilustra lo acontecido en cada una de las seis semanas:

Mes	Gráfico	# de pares
0		1
1		1
2		2
3		3
4		5
5		8
6		13

	Los resultados obtenidos en la tercera columna fueron: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
	¿Observas algo peculiar en la composición de dichos números?	Respuesta

	Esta secuencia de números es precisamente una de las más importantes en la Matemática y recibe el nombre de "Sucesión de Fibonacci", pues fue su descubridor el matemático Leonardo de Pisa apodado Fibonacci que significa "hijo de Bonacci".

SUCESIONES

Una sucesión es una secuencia ordenada de números.

Las sucesiones se representan de la siguiente forma:

t₁, t₂, t₃, ..., t_n, ...

donde el subíndice indica la posición de cada término, y los t_i no son necesariamente distintos entre sí.

Cuando el último término aparece en una expresión, estamos ante una sucesión finita, mientras que si no aparece se tratará de una sucesión infinita.

Decimos que una sucesión es definida si posee una regla (generalmente una fórmula) que permite conocer sus términos.

Ejemplos:
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... se trata de la sucesión de números pares, creciente e infinita 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... se trata de la sucesión de inversas de números naturales, decreciente e infinita. 10, 9, 8, 7, 6. se trata de una sucesión finita y decreciente de números naturales.

Progresiones Aritméticas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A.)

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que se cumple que la diferencia de dos consecutivos es un valor constante, llamado "diferencia común". Precisamente como este tipo de progresiones se denomina así porque es la "razón aritmética" el valor constante.

Si identificamos la "diferencia constante" con d, entonces una P.A. tendrá la forma siguiente:

t₁, t₁ + d, t₁ + 2d, ..., t₁ + (n - 1)d, ...

Cuando la diferencia común es positiva, la progresión es creciente, mientras que si es negativa, la progresión es decreciente.

Ejemplos:
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... se trata de una P.A. creciente donde d = 2 10, 8, 6, 4, 2 se trata de una P.A. decreciente donde d = -2

Término n-ésimo
La expresión que permite determinar un término cualquiera de una progresión aritmética, conocido su primer término y su diferencia común es:
t_n = t₁ + (n - 1)d

Ejemplos:
Determine el término 24 de la siguiente P.A.: 2, 4, 6, 8, ... En este caso: t₁ = 2 y d = 2, luego: t₂₄ = 2 + (24 - 1)(2) = 2 + 23 × 2 = 2 + 46 = 48 Determine el término 30 de la siguiente P.A.: 35, 40, 45, ... En este caso: t₁ = 35 y d = 5, luego: t₃₀ = 35 + (30 - 1)(5) = 35 + 29 × 5 = 35 + 145 = 180

SERIES

Se llama serie a la suma de los términos de una sucesión.

Ejemplo:
La serie de la siguiente sucesión: 2, 5, 10, 17, 26 es: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 = 60

En 1877 en Alemania, en una clase de matemática el profesor encargó a sus alumnos que determinen la suma de los cien primeros números naturales, pensando que con ello los iba a tener entretenidos por un buen tiempo. Sin embargo, ante su asombro, un alumno dio la respuesta correcta casi de inmediato. El alumno explicó al profesor que lo que había hecho era multiplicar por 50 la suma del primer y último número. Más tarde este niño de nombre Karl Friedrich Gauss, se convertiría en uno de los más grandes matemáticos, conociéndosele como el "Príncipe de las matemáticas", de quien se dice fue el último matemático que conoció toda la matemática de su época.

SERIE ARITMÉTICA

Es la suma de los términos de una progresión aritmética, y su forma general es:

t₁ + (t₁ + d) + (t₁ + 2d) + ... + (t₁ + (n - 1)d) ... (1)

Si representamos con "S" a la serie aritmética y con "u" al último término, entonces la expresión (1) puede escribirse como:

S = t₁ + (t₁ + d) + (t₁ + 2d) + ... + (u - 2d) + (u - d) + u ... (2)

               o equivalentemente:

S = u + (u - d) + (u - 2d) + ... + (t₁ + 2d) + (t₁ + d) + t₁ ... (3)

               sumando las expresiones (2) y (3) tenemos:

2S = (u + t₁) + (u + t₁) + (u + t₁) + ... + (u + t₁) + (u + t₁) + (u + t₁) = n (u + t₁)

               de donde:

S = n (u + t₁) / 2

Ejemplos:

Determine la serie de la siguiente P.A.:    2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

En este caso:       t₁ = 2,     u = 14     y     n = 7

Aplicando la fórmula:      S = 7 × (2 + 14) / 2 = 56
Determine la suma de los primeros 20 términos de la siguiente P.A.:     35, 40, 45, ...

En este caso, es necesario conocer primero el término 20:       t₂₀ = 35 + (20 - 1)(5) = 130

Luego, aplicando la fórmula tenemos:       S = 20 × (35 + 130) / 2 = 1650

Progresiones Geométricas

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (P.G.)

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que se cumple que el cociente de dos términos consecutivos es un valor constante. Precisamente este tipo de progresiones se denomina así porque es la "razón geométrica" cuyo valor es constante.

Si identificamos la "razón constante" con r, entonces una P.G. tendrá la forma siguiente:

t₁, t₁ × r, t₁ × r², ..., t₁ × r^(n-1), ...

Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, ... se trata de una P.G. infinita creciente donde r = 2 160, 80, 40, 20, 10, 5 se trata de una P.G. finita decreciente donde r = 1/2

Término n-ésimo
La expresión que permite determinar un término cualquiera de una progresión geométrica, conocido su primer término y su razón es:
t_n = t₁ × r^{(n - 1)}

Ejemplos:
Determine el término 12 de la siguiente P.G.: 2, 4, 8, ... En este caso: t₁ = 2 y r = 2, luego: t₁₂ = 2 × 2 ^{(12 - 1)} = 2 × 2 ¹¹ = 4096 Determine el octavo término de la siguiente P.G.: 43046721, 14348907, 4782969, ... En este caso: t₁ = 43046721 y r = 1/3, luego: t₁₀ = 43046721 × (1/3)^(10-1) = 43046721 × (1/3) ⁹ = 2187

SERIE GEOMÉTRICA

Es la suma de los términos de una progresión geométrica, y su forma general es:

S = t₁ + t₁ × r + t₁ × r² + ... + t₁ × r^(n-1) ... (1)

               si multiplicamos la expresión (1) por "r" tenemos:

rS = rt₁ + t₁ × r ² + t₁ × r³ + ... + t₁ × rⁿ ... (2)

               restando la expresión (2) menos la (1) tenemos:

rS - S = (r - 1)S = t₁ - t₁ × r ⁿ

               de donde:

S = t₁ × (r ⁿ - 1) / (r - 1)

Ejemplo:
Encuentre la suma de los primeros 8 términos de la siguiente P.G.: 8, 16, 32, ... En este caso: t₁ = 8, y r = 2 Aplicando la fórmula: S = 8 × (2 ⁸ - 1) / (2 - 1) = 2040

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Halle el 12^o término y la suma de los doce primeros términos de las siguientes progresiones:

	a. 8, 14, 20, ...	Respuesta 1a
	b. 8, 13, 18, ...	Respuesta 1b
	c. 148, 136, 124,...	Respuesta 1c
	d. 6, 12, 24, ...	Respuesta 1d

2.	Halle la suma de los 50 primeros números pares.	Respuesta 2
3.	Por la compra de un edificio, una empresa se compromete a pagar $3000, al final del primer mes, $2900 al final del segundo mes, $2800 al final del tercer mes y, así sucesivamente. ¿Cuánto pagará la empresa por el edicio si se efectúan 15 pagos en total?	Respuesta 3
4.	Un hotel tiene un costo de $600,000. Al final de cada año, los dueños deducen de su valor determinado al principio del año, el 10% por concepto de depreciación. ¿Cuál será el valor del hotel al final de 20 años?	Respuesta 4

Matemática - FCsCTH - UIGV

viernes, 11 de marzo de 2011

Sucesiones y series

Introducción

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