Razones y Proporciones

¿Qué es Razón?

Introducción

En diversas ocasiones de la vida diaria, realizamos comparaciones de diversa índole. Establecemos si un programa de televisión es mejor o no que otro, si determinada localidad es preferible respecto de otra para ir de paseo, etc. A veces también realizamos comparaciones entre valores numéricos, por ejemplo, si hemos dado dos prácticas, comparamos sus notas, para determinar si hemos empeorado, mejorado o nos mantenemos con igual rendimiento. Precisamente, cuando se trata de comparar dos cantidades numéricas, por ejemplo, la cantidad de turistas que han llegado a determinada localidad para una misma fecha en dos años consecutivos, encontramos que las formas comunes de comparación son: establecer la diferencia entre ellas o establecer el cociente. Por ejemplo, si en el año 2004 llegaron 1000 turistas y en el año 2005 llegaron 2000, podríamos decir que en el año 2005 llegaron 1000 turistas más (para lo cual fue necesario obtener la resta: 2000 - 1000), o podríamos decir que en el año 2005 se tuvo el doble de turistas que en el año 2004 (para lo cual fue necesario obtener el cociente: 2000/1000). Estos dos tipos de comparaciones es lo que en Matemática se denomina "razones".

Definición

Razón

Se denomina razón al resultado numérico de la comparación de dos magnitudes homogéneas.

Clases:
Razón Aritmética: Es la comparación por diferencia. Ejemplo: 900 km - 300 km = 600 km Razón Geométrica: Es la comparación por cociente. Ejemplo: 900 km / 300 km = 3

Representación:	Considerando las magnitudes homogéneas a y b.
Razón Aritmética: a - b Razón Geométrica: a : b ó a / b

Términos:
a :	antecedente
b :	consecuente

Lectura:
"a es a b"

¿Qué es Proporción?

Definición

Proporción

Se denomina proporción a la expresión de la igualdad de dos razones.

Clases:
Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas. (Equidiferencia) Representación: a - b = c - d Ejemplo: 600 km - 450 km = 700 km - 550 km Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas. (Equicociente) Representación: a : b :: c : d ó a / b = c / d Ejemplo: 600 km / 200 km = 1500 km / 500 km

Términos:
a y c : antecedentes	; a y d : extremos

b y d : consecuentes	; b y c : medios

Lectura:
"a es a b como c es a d"

Tipos de Proporción Geométrica

Clases:

Proporción Geométrica Discreta: Es aquella en la cual sus cuatro términos son diferentes entre sí.

Ejemplo: 600 km / 20 km = 360 km / 12 km

En una proporción geométrica discreta se denomina "cuarta proporcional" a cada uno de sus términos y se dice que cada uno de ellos es "cuarta proporcional" de los otros tres. Así por ejemplo decimos que:

600 es "cuarta proporcional" de 20, 360 y 12.

20 es "cuarta proporcional" de 600, 360 y 12.

360 es "cuarta proporcional" de 600, 20 y 12.

12 es "cuarta proporcional" de 600, 20 y 360.

Proporción Geométrica Continua:      Aquella en la cual sus términos medios o términos extresmos son iguales.

Representación:      a : b :: b : c       a : b :: c : a       ó       a / b = b / c        a / b = c / a

Ejemplo:      1 / 3 = 3 / 9

En una proporción geométrica continua se denomina "tercera proporcional" a cada uno de sus términos no iguales, mientras que se denomina "media proporcional" o "media geométrica al término que se repite. Así por ejemplo decimos que:

1 es "tercera proporcional" de 3 y 9.

9 es "tercera proporcional" de 1 y 3.

360 es "media geométrica" de 1 y 9.

Ejemplos:

Halle la cuarta proporcional de 8, 10 y 20.
Se trata de una proporción geométrica discreta. Inicialmente se admite más de una respuesta, dependiendo de la ubicació de la incógnita:
- x / 8 = 10 / 20 entonces x = 8(10)/20 de donde x = 4
- 8 / x = 10 / 20 entonces 8(20) = 10x de donde x = 16
- 8 / 10 = x / 20 entonces 8(20) = 10x de donde x = 16
- 8 / 10 = 20 / x entonces 8x = 20(10) de donde x = 25
  
  Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: "cuando se pida hallar la cuarta proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo.
Halle la tercera proporcional de 2 y 4.
Se trata de una proporción geométrica continua. Inicialmente se admiten dos respuestas, dependiendo de la ubicació de la incógnita:
- x / 2 = 2 / 4 entonces x = 2(2)/4 de donde x = 1
- 2 / 4 = 4 / x entonces 2x = 16 de donde x = 8
  
  Con la finalidad de que ante un mismo problema la respuesta sea única, se adoptará la siguiente convención: "cuando se pida hallar la tercera proporcional se asumirá que corresponderá al término consecuente extremo.
Halle la media proporcional de 3 y 12.
Se trata de una proporción geométrica continua.
- 3 / x = x / 12 entonces 3(12) = x² de donde x = 6

Ejercicios Resueltos

La media geométrica de dos números de 12. Halle la diferencia positiva de los extremos sabiendo que la proporción que se forma tiene razón 1/4.

Sol.

Se trata de una proporción geométrica "continua", pues se indica el valor de la "media aritmética".

Se cumple: a/12 = 12/c = 1/4

Por el valor 1/4, se deduce que en esta proporción para cada razón, el antecedente es menor que el respectivo consecuente. Luego,

a < 12 y c > 12

de donde se deduce que la diferencia positiva, será la representada por "c - a".

Al igualar la primera razón con 1/4, tenemos: a/12 = 1/4 de donde a = 12(1)/4 = 3

Al igualar la segunda razón con 1/4, tenemos: 12/c = 1/4 de donde c = 12(4)/1 = 48

Finalmente entonces: c - a = 48 - 3 = 45
Halle dos números que son entre sí como 4 es a 9, sabiendo que su diferencia vale 60. Dé como respuesta la suma de dichos números.

Sol.

Formamos la proporción:    a/b = 4/9 ...(1)

la misma que con la finalidad de utilizar el coeficiente de proporcionalidad podemos expresar como:    a/4 = b/9 = k ...(2)

Luego, se cumple que:     a = 4k y     b = 9k

De la expresión (1) se deduce que a es menor que b.

Luego, 60 es el valor de la diferencia "b - a", es decir:

b - a = 60

Reemplazando dichos términos en función de k tenemos:

9k - 4k = 60 es decir, 5k = 60 de donde: k = 12
En una proporción continua el producto de sus términos es 1296. Halle la tercera proporcional sabiendo que el producto de sus dos primeros términos es 18.

Sol.

La proporción es de la forma:    a / b = b / c.

Se pide:    b = ?

Se cumple:    ac = b²

Luego, por el primer dato tenemos:     ab²c = 1296

de donde tenemos que:     b⁴ = 1296     y     b = 6

Además sabemos que: ab = 18     luego     a(6) = 18     de donde     a = 3

Finalmente, sustituyendo en la proporción original tenemos:

3 / 6 = 6 / x     de donde     x = 12

Ejercicios Propuestos

Ejercicios:
1.	Halle la cuarta proporcional de 6, 10 y 15.	Respuesta 1
2.	Halle la tercera proporcional de 6 y 18.	Respuesta 2
3.	Halle la media proporcional de 12 y 48.	Respuesta 3
4.	Dos números son entre sí como 5 es a 7. Halle dichos números sabiendo que su suma es 96.	Respuesta 4
5.	La suma de los términos de una proporción continua es 147. Halle la media proporcional sabiendo que la razón de la proporción y sus cuatro términos son enteros.	Respuesta 5
6.	A los cuatro términos de una proporción se le suma una misma cantidad, obteniéndose como resultado 72, 102, 92 y 132. Halle cada término.	Respuesta 6

Magnitudes Proporcionales

Definición

Magnitudes Directamente Proporcionales

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de sus respectivos valores es siempre constante. Es decir: A B si y sólo si a_i / b_i = k , donde k representa un valor constante. Se cumple: a₁ / b₁ = a₂ / b₂ = ... = k

Ejemplo: Costo de aviso vs. N^o de palabras (Avisos Clasificados)
Costo (S/.)	N^o de palabras
25	5
50	10
75	15
100	20
Representación Gráfica:

Definición

Magnitudes Inversamente Proporcionales

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto de sus respectivos valores es siempre constante. Es decir: A I.P. B si y sólo si a_i b_i = k , donde k representa un valor constante. Se cumple: a₁ b₁ = a₂ b₂ = ... = k

Ejemplo: Alquiler a S/. 200 de una coaster de 26 pasajeros de capacidad para una paseo.
N^o pasajeros	Costo de Pasaje
25	8
20	10
10	20
5	40
Representación Gráfica:

Propiedad 1
Si A es inversamente proporcional a B entonces A será directamente proporcional a la inversa de B. A I.P. B entonces A 1/B

Propiedad 2
Si A es directamente proporcional a B (cuando C es constante) y ademámas A es directamente proporcional a C (cuando B es constante) entonces A será directamente proporcional al producto de B y C.
A B (cuando C es cte.) A C (cuando B es cte.)	entonces	A BC

Matemática - FCsCTH - UIGV

martes, 8 de marzo de 2011